4 声波的传播特性
4.1 波动方程
求解的前提假设
- 体积元的尺寸远小于波长
- 体积元内部的量变忽略不计（均一）
- 体积元的尺寸远大于原子分子的尺寸，且介质连续
根据牛顿第二定律，得到
\[
F = ma = m\frac{dv}{dt}=\rho A\Delta x\frac{dv}{dt}
\]
而\(v=v(x,t)\)，全微分得到\(dv = \frac{\part v}{\part x}dx+\frac{\part v}{\part t}dt\)，得到\(\frac{dv}{dt}=\frac{\part v}{\part x}\frac{dx}{dt}+\frac{\part v}{\part t}\)
同时，体积元上的力由两边的压强差造成
\[
F = [p(x)-p(x+\Delta x)]A
\]
联立二式得到
\[
-\frac{\part p}{\part x} = \frac{p(x)-p(x+\Delta x)}{\Delta x} = \rho\left(\frac{\part v}{\part x}\frac{dx}{dt}+\frac{\part v}{\part t}\right)
\]
带入\(v,x\)的表达式进一步得到
\[
\frac{\part p}{\part x}+\rho_0\frac{\part v}{\part t} = 0
\]
根据质量守恒，单位时间内离开体积元的质量就是体积元质量的减少，即
\[
A[\rho(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-\rho(x)v(x)] = -A \Delta x\frac{\part \rho}{\part t}
\]
整理为
\[
\frac{\part(\rho v)}{\part x}+\frac{\part \rho}{\part t} = 0 \tag{4-1}
\]
带入\(\rho(t) = \rho_0+\rho_1(t)\)，且\(\rho_0 >>\rho_1\)，前者不随时间变化，得到
\[
\rho_0 \frac{\part v}{\part x} +\frac{\part \rho_1}{\part t} =0 \tag{4-2}
\]
为了反映介质特性，定义绝热压缩系数
\[
K = \frac{\rho_1}{\rho_0}\frac{1}{p}
\]
将上式对时间求导后带入4-2
\[
\frac{\part p}{\part t} +\frac{1}{K}\frac{\part v}{\part x}=0 \tag{4-3}
\]
结合4-1,4-3，再次求导，得到
\[
\frac{\part^2 p}{\part x^2} -\frac{1}{c^2}\frac{\part^2 p}{\part t^2}=0
\]
这个波动方程的通解是
\[
p = A_1e^{j(\omega t -kx)} +A_2e^{j(\omega t+kx)}
\]
定义色散关系：\(\frac{\omega}{k}=c= \frac{1}{\sqrt{\rho_0 K}}\)
推导方程的前提
- 主要考虑纵波，这在生物体软组织中成立（剪切模量很小）
- 声强不太大，因此体积元的密度变化不大，在诊断时满足（HIFU不满足）
- 无热量交换，在治疗时不满足
- 没有考虑介质吸收的衰减
4.2 声波的叠加、干涉和衍射
相控阵聚集扇扫：基于叠加原理，一系列不同相位的波在目标地叠加加强
驻波：两束传播方向不同的波叠加
入射波\(p_i = p_{ia}e^{j(\omega t-kx)}\)，反射波\(p_r=p_{ra}e^{j(\omega t+kx)}\)，合成后为
\[
p=p_i+p_r=e^{j\omega t}\left[(p_{ia}-p_{ra})e^{-jkx} +2p_{ra}\cos{kx}\right]
\]
当\(p_{ia}=p_{ra}\)时，得到
\[
p = 2p_ae^{j\omega t}\cos{(kx)}
\]
故在\(x=\frac{1+2k}{4}\lambda\)时为波节，振幅为0；\(x=\frac{k}{2}\lambda\)时为波腹，振幅最大
驻波的应用
换能器压电晶片的厚度选择声波在换能器介质中的\(\frac{\lambda}{2}\)的奇数倍，\(\frac{\lambda}{2}\)对应换能器工作的基频，倍数为谐波频率
衍射
影响
由于超声的衍射，换能器能探测的病灶深度方向的最小尺寸为\(\frac{\lambda}{2}\)，再小，声波就衍射走了，没有回波
小结石无声影，大结石有很长的声影
4.3 声波的反射、折射与透射
4.3.1 声波垂直入射的反射与透射
定义声压反射率\(r\)和声压透射率\(t\)，对于下面的垂直入射过程存在
\[ r = \frac{p_r}{p_0} = \frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1}\\ t = \frac{p_t}{p_0} = \frac{2Z_2}{Z_2+Z_1} \]
其中\(Z_i\)是声阻抗率，\(Z_i\)不同是反射折射产生的原因
进一步定义声强反射率\(R\)和声强透射率\(T\)，有
\[
R = \frac{I_r}{I_0} = \frac{\frac{p_r^2}{2Z_1}}{\frac{p_0^2}{2Z_1}} = r^2 = \left( \frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1} \right)^2\\
T = \frac{I_t}{I_0} = \frac{\frac{p_t^2}{2Z_2}}{\frac{p_0^2}{2Z_1}} = \frac{Z_1}{Z_2}\frac{p_t^2}{p_0^2} = \frac{4Z_2Z_1}{(Z_2+Z_1)^2}
\]
存在以下讨论
- \(Z_1>Z_2\)，入/反射波声压的相位反相，质点振动速度同相
- \(Z_1\gg Z_2\)，\(r\approx-1,t\approx0,R=1,T=0\)
- \(Z_1
- \(Z_1\ll Z_2\)，\(r\approx1,t\approx2,R=1,T=0\)，形成驻波，振动速度的波节是声压的波腹
- \(Z_1\approx Z_2\)，不反射
洗澡时，水进入耳朵，由于水的声阻抗率远大于空气，类似情况4，声音听不清
透射波永远与入射波同相，无论声压/振动速度
从上式得到以下结论
\[
R+T = 1 \\
t = 1+r
\]
上式理解为能量守恒，下式理解为法向声压连续（透射 = 入射 + 反射）
超声成像的原理是不同介质的声阻抗率之差，而不是绝对大小；即超声成像依靠组织之间的反射系数差异
4.3.2 声波斜入射的反射与折射
存在以下关系
\[
\frac{\sin\theta}{\sin\theta^{'}} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{c_1}{c_2}\\
k_1\sin\theta = k_2\sin\theta^{'}
\]
下式也称为声折射定律
斜入射条件下声压反射率与折射率有
\[
r_p = \frac{Z_2\cos\theta-Z_1\cos\theta^{'}}{Z_2\cos\theta+Z_1\cos\theta^{'}}\\
t_p = \frac{2Z_2\cos\theta}{Z_2\cos\theta+Z_1\cos\theta^{'}}
\]
- 当\(Z_2\cos\theta=Z_1\cos\theta^{'}\)时，反射率 = 0，称为全透射
- 当\(\sin\theta > \frac{c_1}{c_2}\)时，折射角大于90\(^\circ\)，透射消失，称为全反射
4.3.3 成像伪影
B超等设备的成像依赖于声波的直线传播，故任何的散射，折射等非直线的情况都会产生成像伪影
回声失落：大界面的回声与角度有关，当界面与声束的角度很小时，反射波不能返回换能器，图像上没有这一块
折射引起的伪影：类似于筷子在水中折断，会产生双重图像
多普勒超声中的折射伪影：折射会改变声波的传播方向
折射的应用
声波在空气中的速度比在玻璃中慢，故与光相反，凸透镜是发散声束，凹透镜是会聚声束
当然介质改变后凸透镜也能会聚声束
4.4 三层介质透射与换能器声学匹配
声波在声阻抗率相差很大的两个介质中传播时，要用耦合剂进行耦合
那么有
\[
T_{13} = T_{12} \cdot T_{23} = \frac{I_2}{I_1} \cdot\frac{I_3}{I_2} = \frac{4Z_3Z_1}{(Z_3+Z_1)^2\cos^2(k_2l_2)+\left( Z_2+\frac{Z_3Z_1}{Z_2} \right)^2\sin^2(k_2l_2)}
\]
其中\(k_2 = \frac{2\pi}{\lambda_2}\)，\(l_2\)是中间介质的厚度
- 当\(l_2\ll \lambda_2\)，相当于没有介质层
- 当\(l_2=\frac{n}{2}\lambda_2\)，由于\(Z_1,Z_3\)相差很大，与上面相似
- 当\(l_2 = \frac{2n+1}{4}\lambda_2\)，且\(Z_2 = \sqrt{Z_1Z_3}\)时，发生全透射，\(T_{13}=1\)
因此，在换能器内部存在\(l=\frac{1}{4}\lambda\)的声学匹配层