7 激光原理

重点：

激光器的组成和工作原理
如何克服受激辐射与受激吸收、自发辐射的矛盾

7.1 激光原理

原子的能级是量子化的
\[hv=E_2-E_1\]

自发辐射

定义自发跃迁的几率（自发跃迁爱因斯坦系数）
\(A_{21}=(\frac{dn_{21}}{dt})_{sp}\cdot\frac{1}{n_2}\)，其中sp表示spontaneous，表示单位时间内从2跃迁到1的电子占2总数的比例
def \(A_{21}=\frac{1}{\tau_s}\)，其中\(\tau_s\)是原子在2的平均寿命，故\(A_{21}\)只和原子本身有关

受激吸收

定义受激吸收几率
\(W_{12}=(\frac{dn_{12}}{dt})_{st}\cdot\frac{1}{n_1}\)，其中st表示stimulated
def \(W_{12}=B_{12}\rho_\nu\)，\(B_{12}\)是受激吸收跃迁爱因斯坦系数，只与原子本身有关，\(\rho_{\nu}\)是辐射能量场密度

受激辐射

定义受激辐射几率
\(W_{21}=(\frac{dn_{21}}{dt})_{st}\cdot\frac{1}{n_2}\)
高能级的电子，在外来光子的激发下，向低能级跃迁而发光（进1出2）
受激产生的光子完全是入射光子的copy，二者频率，相位，波矢，偏振完全一致，有相同的光波模式(激光的相干性强)
def \(W_{21}=B_{21}\rho_\nu\)

受激辐射光放大

\(A_{21},B_{12},B_{21}\)的关系
在热平衡状态，辐射率等于吸收率，有\(n_2A_{21}+n_2B_{21}\rho_{\nu}=n_1B_{12}\rho_\nu\)
直接给出结论，\(B_{12}=B_{21},W_{12}=W_{21},A_{21}=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}B_{21}\)

7.2 受激辐射和受激吸收、自发辐射的矛盾

与受激吸收
受激辐射过程光子数变多，受激吸收过程光子数变少
由于辐射要求电子在高能级，这必然导致**\(n_2得到\(N_2=n_2W_{21}

如何克服
需要使得\(n_2>n_1\)，即集居数反转，显然需要外界提供能量（Pumping，泵浦），使1先向2跃迁
称处于集居数反转的物质为激活物质

激活粒子的能级系统
首先论证二能级系统无法实现：
当辐射稳定时，一定有：\(\frac{dn_2}{dt}=W(n_1-n_2)-n_2A_{21}=0 \Rightarrow \frac{n_2}{n_1}=\frac{W}{A_{21}+W}<1\)
需要引入亚稳态（不如基态稳定，但比激发态稳定得多）

三能级系统

图中E3是激发态，会快速衰减为E2亚稳态，E2和E1形成集居数反转
但是这样有一个问题，由于E2全部来自E3，需要将大量的E1先Pumping到E3，能耗太高

四能级系统

图中E4是激发态，E3&E2是亚稳态，E2会快速衰减为E1，E2相当于一个空能级，\(n_2\approx 0\)
E3却不会快速衰减为E2，即\(n_3>>n_2\)，用E3和E2组成新的激发系统
这样，只需要Pumping很少的电子到E3，就能形成集居数反转

与自发辐射
def \(R=\frac{W_{21}}{A_{21}}\)，表示辐射光子中受激和自发的比值，得到\(R\approx 10^{-35}\)，完全可以忽略
即相干光子很少，无法生存

如何克服
达到\(W_{21}=B_{21}\rho_\nu>A_{21}\)，使受激光子在竞争中存活（但是引起受激辐射的光子最初来自自发辐射）

光学谐振腔

光子在受激辐射的过程中会逐渐增多，当增长谐振腔\(\rho_\nu\)变大，就有可能达到\(B_{21}\rho_\nu>A_{21}\)
但是谐振腔不可能做的很长，使用反射镜面来增加光程，来回来回中受激光子就变多了

使用的光学谐振腔

在部分反射镜面上出射
由于两块镜面平行放置，对光子的方向选择很强，偏了的光子会逸出腔外，平行的光子会变多
所以激光由高度方向性

7.3 光子振荡条件

增益系数\(g(z)=\frac{dI(z)}{dz}\cdot \frac{1}{I(z)}\)，当\(I<损耗系数\(\alpha=-\frac{dI(z)}{dz}\cdot \frac{1}{I(z)}\)

激光器中的光强变化\(dI(z)=[g(I)-\alpha]I(z)dz\)

振荡条件：\(I(z)=I_0e^{(g_0-\alpha)z}\geq I_0 \Rightarrow g_0\geq\alpha\)
当满足上述条件时，无论初始的光强多小，都能形成\(I_m\)的光

7.4 激光器的基本组成和分类

基本组成

激光模式

• 纵模：沿着光轴的光强分布，与驻波有关
• 横模：垂直光轴的截面上的光强分布，选择电场分布均匀的就行

共振腔的结构决定模式特征

驻波和谐振频率
当激光器处于振荡状态时，激光器内部的光是满足一定相位条件的驻波
驻波条件：\(\Delta\phi=k\Delta x=\frac{2\pi}{\lambda}\cdot 2nl=2m\pi \Rightarrow l=m\cdot\frac{\lambda}{2n}\)，其中n是介质折射率，\(m\in \mathbb{Z}\)
谐振条件：\(\nu=m\cdot\frac{c}{2nl}\)
纵模间隔：\(\Delta\nu=\frac{c}{2nl}\)
最终只有满足谐振条件的光子存活（因为增益最大）

明明在受激时已经确定了频率，为什么还会有谐振条件呢？
因为原子的能级不是确定的，用能带更好理解，频率是一个小区间

理想情况下，一个纵模对应一个谐振频率值，实际上存在带宽

起振纵模数

其中\(\Delta\nu_T\)是带宽，\(g起振模式数：\(\Delta m=\lceil \frac{\Delta \nu_T}{\Delta\nu}\rceil+1\)，向下取整加1，共有这么多个纵模

• 不考计算

例：见图

可见\(\nu_T/\nu\)是非常小的，故认为中心处必有一个纵模，向两边间隔\(\Delta \nu\)计算个数