2 原子核及放射性
重点：
原子核基本性质，衰变类型原子核衰变规律和应用
射线与物质作用的几种形式
2.1 原子核组成
原子核由质子和中子组成，二者统称核子
原子核质量用u表示，\(1u=\frac{1}{12}m(_6^{12}C)\)，用其来度量质量时，数值接近原子核核子数A
核素：确定的质子数、核子数和能量状态的中性原子，用符号表示为\(_Z^AX_N\)，其中Z为原子序数，A为核子数
同位素：Z相等，A不相等
同质异能素：Z、A都相等，但是能级不同
原子核大小
由经验公式\(R=R_0A^{\frac{1}{3}}\)可以得到，\(R_0=1.2\times10^{-15}\),原子核密度\(\rho=\frac{3u}{4\pi R_0^3}\approx=10^{17}kg/m^3\)
2.2 原子核的结合能及质量亏损
质量亏损： 原子的结合能： 比结合能： 原子核衰变 α衰变 β衰变 \(\beta^-\)型 \(\beta^+\)型 电子俘获型 γ衰变 衰变规律 半衰期\(T\) 生物半衰期\(T_b\) 有效半衰期\(T_e\) 平均寿命\(\tau\) 放射性活度 例：求5g铀盐（\(U_3O_8\)）的放射性活度，已知\(T_U=4.47\times10^9 a\) 放射性平衡 当子核的A与母核相近并达到最大值时，称为放射性平衡（对\(N_B\)求导） 例：对\(A\overset{\lambda_A}{\rightarrow}B\overset{\lambda_B}{\rightarrow}C\)，问（1）子核何时达到最大（2）一次洗脱子核，再经过多久再次洗脱，得到的产物最多 激发与电离 散射和韧致辐射 射程 正电子与物质相互作用 电离比值 α粒子 β粒子 射程和吸收规律
设原子核\(_Z^AX\)质量\(m_d\)，实验表明，\(m_d
自由核子结合为原子核需要释放的能量，有
\[\Delta E=\Delta m\mathcal{C}^2\]
1u对应931.5MeV的能量
\[\varepsilon=\frac{\Delta E}{A}\]
这个值越大，核子结合得越紧密，越稳定
可见轻核和重核的比结合能小，所以用轻核聚变和重核裂变的方法2.3 原子核的衰变方式及规律
自发放出射线，变为另一种核素
\[_Z^AX\rightarrow _{Z-2}^{A-4}Y+ _2^4He+Q\]
α粒子就是氦核，发生的前提是A>209，Q是能量
特点：
分为\(\beta^-\)、\(\beta^+\)和电子俘获型,由于有中微子参与，能量将任意分配，所以射线谱是连续的
\[_Z^AX\rightarrow _{Z+1}^AY+e^-+\overline{\nu_e}+Q\]
β射线是电子流，\(\overline{\nu_e}\)是反中微子
特点
\[_Z^AX\rightarrow _{Z-1}^AY+e^++\nu_e+Q\]
由于电子湮灭\(e^++e^-\rightarrow 2\gamma+Q\)，两个光子相向，能量为0.511MeV，\(\beta^+\)粒子射程仅1-2mm
母核俘获一个核外电子而变成子核，并放出中微子
\[_Z^AX+e^-\rightarrow _{Z-1}^AY+\nu_e+Q\]
就是原子核跃迁
特点
在dt内发生衰变的原子核数目-dN正比于当前存在的原子核数目N和dt，即
\[-dN=\lambda Ndt \Rightarrow N=N_0\mathcal{e}^{-\lambda t}\]
\(\lambda\)是衰变常量，\(N_0\)是初始原子核数
又称物理半衰期，由上式可得，当\(N=N_0/2\)时，解得\(T=\frac{\ln{2}}{\lambda}=\frac{0.693}{\lambda}\)
可以用半衰期来表示N，即\(N=N_0(\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}\)
由于各种代谢作用，生物体排除放射性核素的规律
同时考虑半衰期和生物半衰期，有
\[\frac{1}{T_e}=\frac{1}{T}+\frac{1}{T_b}\]
衰变定律改写为
\[N=N_0\mathcal{e}^{-(\lambda_b+\lambda)t}\]
其中\(\lambda_e=\lambda+\lambda_b\)，分别是有效、衰变、生物衰变常数
放射性核素平均生存时间，下面是计算方法
即将衰变的dN个核，设其生存了t，则这dN个核的寿命之和有\(t(-dN)=t\lambda Ndt\)
带入N的表达式，得到所有的核寿命之和\(\sum=\int_0^\infty \lambda Nt\,dt=\frac{N_0}{\lambda}\)
所以\(\tau=\frac{\sum}{N_0}=\lambda^{-1}=\frac{T}{\ln{2}}=1.44T\)
单位时间内发生衰变的原子核数，记为A，单位为Bq，1Bq=1次衰变/s
\[\therefore A=-\frac{dN}{dt}=\frac{\lambda Ndt}{dt}=\lambda N=\lambda N_0 \mathcal{e}^{-\lambda t}=A_0\mathcal{e}^{-\lambda t}\]
实际上\(A_0=N_0\lambda\)
解：由\(A=\lambda N\)可知要求\(\lambda\)和\(N\)，\(N=N_A \frac{5g}{238g/mol}\)，\(\lambda=\frac{ln{2}}{T_U}\)
注意\(\lambda\)单位是/s，\(T_U\)单位是年，\(N_A=6.02\times10^{23}\)，换算后解得A
许多核素不止衰变一次，称为级联衰变
\[A\overset{\lambda_A}{\rightarrow}B\overset{\lambda_B}{\rightarrow}C\]
在这个反应中，\(N_A=N_{A_0} \mathcal{e}^{-\lambda_At}\)，但在考虑B时，要考虑B和C的反应，有
\[dN_B=N_A\lambda_Adt-N_B\lambda_Bdt\]
结合上面二式，有
\[\therefore N_B=\frac{N_{A_0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}(\mathcal{e}^{-\lambda_A t}-\mathcal{e}^{-\lambda_B t})\]
当\(t\rightarrow \infty\)时，有
\[N_B\approx N_A\frac{\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}\approx N_A\frac{\lambda_A}{\lambda_B}\]
此时将子核分离，又会重新平衡
用这种方法可以由长寿命核素制取短寿命核素，装置为核素发生器
如果母核半衰期远小于子核，那么一段时间后，母核几乎全部转化为子核，之后子核按自己的方式衰变
解：（1）就是对\(N_B\)求导
（2）有第一题得到\(t_1\)，代入\(N_A=N_{A_0} \mathcal{e}^{-\lambda_At}\)得到\(N_{A_0}^{'}\)，将\(N_{A_0}^{'}\)替换\(N_B\)中的\(N_{A_0}\)，再次求导2.4 射线与物质的相互作用
激发：射线使原子电子跃迁
电离：电子跃迁出原子
散射：射线受原子静电场作用而改变方向
韧致辐射：见上方
射线在物质中运动的路程沿入射方向的投影
就是湮灭
射线使物质每厘米路径上产生的离子对，表示对机体的损伤程度 ，与质量，带电量，速度正相关
质量大，速度慢，带电量多
质量小，受多次散射速度下降快，会发生韧致辐射
β射线的能量越高速度越快，但是电离比却越小
图中1为β，2为α
α粒子：电离比大，射程短，在生物体内仅几百微米
β粒子：电离比小，射程长，比α大100多倍；在外照射下危害大