2 关系代数

2.1 基本概念

关系模式：\(R(A_1,A_2,\ldots,A_n)\)，如火车票记录（乘客，车次，......）

属性：有属性名和属性域定义，有属性值赋给每一个元组

元组：给定的R的一次取值，记为\(t(a_1,a_2,\ldots,a_n),a_i\in Dom(A_i)\)，\(R=\{t|a_i\in Dom(A_i)\}\)

超键：任一个属性组\((A_i,A_j,A_k,...)\)称为一个键，能在关系中唯一标识一个元组的键称为超键

候选键：不含多余属性的超键，任去一个都不能称为超键

主键：选定的一个候选键

外键：派生关系的属性组，是主关系的主键，这个属性组是派生关系的外键

2.2 关系完整性约束

实体完整性约束（主键）

1. 主键的任意属性不能取空值
2. 主键的取值组合不能重复

参照完整性约束（外键）

1. 删除规则：一个实体A被另一个实体B引用，那么禁止删除A实体
2. 插入规则：被引用的元素必须在数据库中存在

用户定义完整性约束

用户自己定义的特殊约束

如：非空约束，唯一约束

自增长约束（auto_increment）

自动生成一个唯一的值用作新数据的值，一般作为主键

检查约束（check（条件））

自己定义

默认约束（default value）

跟在表的属性定义之后

2.3 关系运算

计算优先级：从左到右，有括号先括号

2.3.1 基本关系代数

选择：从关系R中获取满足条件的元组，p是谓词逻辑
\[ \sigma_p(R)=\{t|t\in R \and p(t)\} \]

投影：从R中获取某些列组成新的关系（从k个属性中取n个属性）
\[ \Pi_{A_1,A_2,\ldots ,A_n}=\{t[A_1,A_2,\ldots, A_n]|t\in R\} \]

并：两个关系取并集

R，S的属性个数相同，属性存在一一对应关系，每个属性的域相同

Union 元组不可重复；Union all 元组可以重复

差操作同理

笛卡尔积：与离散数学相同
\[ R\times S = \{(t,q)|t\in R \and q\in S\} \]
\(|R\times S|=|R|\times |S|\)

重命名：将关系R重命名为关系S，同时将各个属性重命名为\(A_i\)
\[ \rho_S(A_1,A_2,\ldots, A_n)(R) \]
若是\(\rho_S(R)\)，则不改变属性名

2.3.2 附加关系代数

交：不是基本运算，可以用\(A-(A-B)\)得到
\[ R\cap S=R-(R-S) \]
用韦恩图看看，可以求不同运算

连接：笛卡尔积加选择加投影
\[ R\Join_pS=\{(t,q)|t\in R\and q\in S\and p\left((t,q)\right)\} \]
p是选择谓词

等值连接：某两个属性值要相等

自然连接：将同一个属性中属性值相同的做等值连接
\[ R\Join S \]

外连接：特殊的自然连接，可以处理缺省值

左外连接：\(R ⟕ S\)，保留左侧的属性值，若右侧没有左侧的某个值，则用NULL缺省，若左侧不存在右侧的值，则不搬运右侧的值

右外连接：\(R⟖S\)，同理

全外连接：\(R⟗S\)，两边都保留，即使重复了

例：

表1左外连接表2得到

表1右外连接表2得到

表1全外连接表2得到

赋值：A\(\leftarrow\)E，其中E是关系运算，A是一个关系

除：\(R\div S\)，留下S中没有的，R中存在的属性，只保留能完全保留S中的属性的值的其余属性值；S中存在R中没有的属性，不能除

当R中的每一个A都有所有的B时（能整除），除和笛卡尔积为逆运算

2.3.3 扩展关系代数

广义投影：允许用算术运算和字符串函数对投影进行扩展
\[ \Pi_{F_1,F_2,\ldots ,F_n}(R)=\{t[B_1,B_2,\ldots, B_m]|t\in R\} \]
F是对B的运算

聚合：相当于EXCEL的筛选，可以用max，count，average等
\[ \mathcal{G}_{F_1(A_1),F_2(A_2),\ldots,F_n(A_n)}(R) \]
F为对属性的具体操作，A为属性

分组：先少选某些属性的值，进行分组，再聚和，相当于pandas的groupby()
\[ _{G_1,G_2,\ldots,G_n}\mathcal{G}_{F_1(A_1),F_2(A_2),\ldots,F_k(A_k)}(R) \]
G为分组用的属性，在所有G上取值相同的将分为一组

排序：字面意思
\[ \tau_{A_1,A_2,\ldots,A_n}(R) \]
A是排序的属性，若前一个属性相同，则按后一个属性排序