10 IIR滤波器的设计

学习笔记
作者: MingXiao

10.1 基本设计思路

  1. 首先需要给定IIR数字滤波器的技术指标，如\(\omega_p,\omega_{st},A_p,A_{st}\)分别是通带截止频率，阻带截止频率，通带衰减和阻带衰减
  2. 根据数字指标，转换为模拟指标
  3. 根据模拟指标得到模拟低通滤波器的技术指标，也就是归一化
  4. 查表，通过模拟低通的原型计算模拟滤波器的表达式
  5. 将模拟滤波器转换为数字滤波器

可以看到AD/DA各一次；有两种方法

10.2 冲激响应不变法

基本想法

对得到的模拟滤波器进行抽样，得到数字滤波器，即

  1. 已知\(H_a(s)\)，逆变换得到\(h_a(t)\)
  2. 对其采样，得到\(h(n)=h_a(nT_s)\)
  3. 做Z变换得到数字滤波器\(H(z)\)

如果
\[ H_a(s) = \sum\frac{A_k}{s-s_k} \]
那么最终得到的
\[ H(z)=\sum\frac{A_k}{1-e^{s_k T_s}z^{-1}} \]
证明略，好证的

本方法对第1-4步延续了传统的想法，即

  1. \(\Omega=\frac{\omega }{T_s}\)，\(A_p,A_{st}\)不改变
  2. 设计低通模拟滤波器系统函数\(H_a(s)\)
  3. 用上面的方法将\(H_a(s)\)转换为\(H(z)\)

方法的局限

由于使用了抽样，这必然会导致一个抽样定理的问题，即
\[ z=e^{sT}\Rightarrow z=e^{\sigma T}e^{j\Omega T}\Rightarrow r=e^{\sigma T},\omega=\Omega T \]
由于\(\omega\in[-\pi,\pi]\)，这会导致映射非双射，表现在系统函数上就是，在\(\Omega=\pm\frac{\pi}{T}\)之外的频谱会造成混叠

用抽样定理的视角来看，\(\omega\)的周期为\(2\pi\)，那么对\(\Omega\)的抽样频率就是\(\frac{2\pi}{T}\)，即折叠频率就是\(\frac{\pi}{T}\)

这带来的问题就是：高通/带阻滤波器无法设计。因为实际中无法限制模拟滤波器的频谱

特点

  • 频率变换是线性的，即\(\omega=\Omega T\)
  • 时域的逼近程度好，毕竟是对其进行采样的
  • 周期延拓问题

10.3 双线性变换法

为了构造单一的频率映射而出现，直接给出映射公式
\[ s=\frac{2}{T_s}\frac{z-1}{z+1} \]
那么在频率响应上，即\(z=e^{j\omega}\)上，这个映射就是
\[ \Omega = \frac{2}{T}\tan{\frac{\omega}{2}} \]

基本想法

  1. 根据数字滤波器的技术指标要求，通过\(\Omega = \frac{2}{T}\tan{\frac{\omega}{2}}\)得到模拟指标
  2. 根据模拟指标和模拟滤波器原型设计模拟滤波器，得到\(H_a(s)\)
  3. 用\(s=\frac{2}{T_s}\frac{z-1}{z+1}\)带入\(H_a(s)\)，得到\(H(z)\)

通过原型设计模拟滤波器

一个例子如下

转换为其他类型的滤波器的方法如下

对这张表的修正：低/高通的\(\Omega_c\)变为\(\Omega_p\)，带通/阻的\(\Omega_c\)变为1，\(\Omega_l/\Omega_h\)指的是通带截止频率

原型滤波器的设计

存在两种，巴特沃兹和切比雪夫

  • 巴特沃兹，通带平坦但是过渡带宽大；需要指的滤波器的阶数

已知n阶低通巴特沃兹的表达式为
\[ |H_p(\nu)|=\frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2\nu^{2n}}} \]
其中\(\nu\)是归一化模拟角频率，当\(\nu=\nu_p=1\)时为通带截止频率，即
\[ A_p = 20\lg{\frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2}}} \Rightarrow \varepsilon^2=10^{-\frac{A_p}{10}}-1 \]
当\(\nu=\nu_s\)时为归一化阻带截止频率，即
\[ A_{st} = 20\lg{\frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2\nu_s^{2n}}}} \]
\(\nu_s\)有
\[ \nu_s = \frac{\Omega_{st}}{\Omega_p} \]
利用\(A_p,A_{st},\nu_s\)的值，求得n为
\[ n \geq \left(\lg{\frac{10^{-0.1A_{st}}-1}{\varepsilon^2}}\right)/(2\lg \nu_s) \]
特别的，当\(A_p=-3\)dB时，\(\varepsilon=1\)

不同阶的滤波器原型会在考试中给出

  • 切比雪夫，通带波纹大，但是过度带宽小，这个就不赘述了估计不会考，直接给结果

\[ \varepsilon^2 = 10^{-0.1A_{p}}-1 \]

\[ n\geq \cosh^{-1}\left( \frac{10^{-0.1A_{st}}-1}{\varepsilon^2} \right)^2/\cosh^{-1}\nu_s \]

例：设计一个低通IIR滤波器，满足截止频率为\(f_p=\)1.5kHz，通带衰减-\(A_p\)3dB，阻带频率\(f_{st}=\)3kHz，阻带衰减\(A_{st}=\)-10dB；抽样频率8000Hz

解：首先求截止频率的模拟角频率
\[ \Omega_p=\frac{2}{T_s}\tan(2\pi f_p/f_s/2)=1.07\times10^{4} \]

\[ \Omega_{st}=\frac{2}{T_s}\tan(2\pi f_{st}/f_s/2)=3.86\times10^{4} \]

那么归一化的阻带截止频率就是
\[ \nu_s = \frac{\Omega_{st}}{\Omega_p} = 3.613 \]
带入上文公式，得到\(\varepsilon=1,n\geq0.855\)，取\(n=1\)，即原型为
\[ H_a(s) = \frac{1}{s+1} \]
由于是求的低通，故用\(S = \frac{s}{\Omega_p}\)带入，得到
\[ H_{LP}=\frac{1}{s/\Omega_p+1} \]
再经过变换得到\(H(z)\)

10.4 IIR与FIR的对比

  • IIR
    • 准确的边缘频率
    • 利用模拟滤波器设计，有大量轮子用
    • 存在反馈，阶数更少
    • 缺点：相位非线性；存在右边极点，系统条件稳定
  • FIR
    • 严格的线性相位
    • 系统一定是稳定的
    • 可以用FFT快速计算
    • 缺点：截止频率难控制


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