6 数字LTI系统的频域分析

学习笔记

作者: MingXiao

6.1 LTI系统的特性

输出信号\(y(n)\)可以表达为输入信号\(x(n)\)和单位冲激响应\(h(n)\)的卷积
\[ y(n) = h(n)*x(n) \]
当\(x(n) = A e^{j\omega_0 n}\)时，特别的\(y(n)=H(\omega)Ae^{j\omega n}\)，证明如下
\[ \begin{align} y(n) &= h(n)*x(n)=\sum_{k=-\infty}^\infty h(k)\cdot x(n-k)\\ &=\sum_{k} h(k)e^{-j\omega_0 k}\cdot e^{j\omega n}\\ &=H(\omega_0)x(n) \end{align} \]
称\(e^{j\omega_0 n}\)为系统的特征函数，\(H(\omega_0)\)为系统的特征值

\(H(\omega)\)的特性
\[ H(\omega) = \sum_k h(k)\cos(\omega k)+jh(k)\sin{\omega k} \]
对于实系统，\(h(n)\)为实数，那么有\(H(\omega) = H_R(\omega)+jH_I(\omega)\)，其中
\[ |H(\omega)| = \sqrt{H_R^2+H_I^2}\\ \angle H = \tan^{-1}\frac{H_I}{H_R} \]
不难看出\(|H|\)是偶函数，\(\angle H\)是奇函数，\(H(\omega)\)有共轭对称性

滑动平均Filter

一个3点滑动Filter可以表示为
\[ y(n) = \frac{1}{3}[x(n-1)+x(n)+x(n+1)] \]
那么\(H(\omega)=\frac{1}{3}(1+2\cos(\omega)),|H|=|H(\omega)|\)（这里是绝对值），\(\angle H = \angle(1+2\cos(\omega))\)（注意正负）

图像如下

6.2 有理分式系统的响应

当一个系统函数可以表达为
\[ H(\omega)=b_0e^{j\omega k}\frac{\Pi (e^{j\omega}-z_i)}{\Pi(e^{j\omega}-p_i)} \]
时，可以使用0极点图对\(|H|,\angle H\)进行估计，从而大致判断通频带

注意DTFT是\(r=1\)的特殊的Z变换，故实验点应该在单位圆上，如下图

进行估计时只需要将角度\(\omega\)从0°转到\(\pi\)就行，根据共轭对称性得到另一边

6.3 作为频率选择滤波器的LTI系统

\[ y=h*x\\ |Y| = |H||X|\\ \angle Y=\angle H+\angle X \]

\(|Y|\)与通频带有关

一个滤波器的通频带可以通过0极点图进行估计，大致而言存在以下关系

极点越靠近低频点的单位圆，通频带越低
将低通滤波器的0极点关于虚轴对称，可以得到高通滤波器

\(\angle Y\)与滤波器相位有关

信号经过滤波器时相位也会有影响，当然不希望相位被打乱

为了得到有序信号，即\(y(n)=Ax(n-k)\)，滤波器应当是\(|H|e^{-j\omega k}\)，相位是\(-\omega k\)，是线性相位（存在截距也行）

称相位的负倒数\(\tau({\omega})=-\frac{d\Theta}{\omega}=k\)时群时延，是常数

群时延是常数的滤波器才是可以使用的

例：\(h(n)=\begin{cases}1,0\leq n\leq N\\0,\, \,\,\,o.w.\end{cases}\)是线性相位吗

解：\(H(\omega) = \frac{1-e^{-j\omega(N+1)}}{1-e^{-j\omega}}\)，\(\angle H = \angle (1-e^{-j\omega(N+1)})-\angle(1-e^{-j\omega})\)
\[ \angle 1-e^{-j\omega} = \tan^{-1}\frac{\sin\omega}{1-\cos\omega} \]
使用\(2\sin^2\omega/2 = 1-\cos\omega\)，化简得到上式右边等于\(\tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{2}-\frac{\omega}{2}))=\frac{\pi-\omega}{2}\)，同理处理前者，最终得到
\[ \angle H = -\frac{N}{2}\omega \]
是线性相位

常见的具有线性响应的滤波器

只有\(h(n)\)满足下面的情况时，FIR滤波器才具有线性相位