3 Z变换
3.1 从Laplace到Z
对连续信号\(x_a(t)\)采样得到\(x(n)=x_a(nT_s)\)，对\(x(n)\)做Laplace变换
\[
\begin{align}
\mathcal{L}[x(n)]&=\int_{-\infty}^{+\infty} x(n)e^{-st}dt\\
&=\sum\limits_{n}x_a(nT_s)\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT_s)e^{-st}dt\\
&=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}x_a(nT_s)e^{-snT_s}\\
&\triangleq X(e^{sT_s})\\
\end{align}
\]
令\(z=e^{sT_s}\)，得到
\[
X(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)\cdot z^{-n}
\]
这就是Z变换的公式
类似的，有单边Z变换
s到z的映射
\(s=\sigma + j\Omega\Rightarrow z=e^{\sigma T_s}\cdot e^{j\Omega T_s}\triangleq re^{j\omega}\)
当\(\sigma<0\)时，\(r<1\)，对应于单位圆内；\(\sigma>0\)则映射到单位圆外
\(\omega=\Omega T_s=2\pi F/F_S\)，\(\Omega\)每变化\(2\pi F_s\)都对应一个\(\omega\)，有周期性
\(\sigma\)映射为圆半径，\(\Omega\)映射为角度
特别的，当\(r=1\)时，\(X(z)=\sum x(n)z^{-n}\)退化为\(X(\omega)=\sum x(n)e^{-j\omega n}\)，为离散时间傅里叶变换（DTFT）
3.2 收敛域ROC
只有\(X(z)\)收敛，这个变换才有意义，因此必须满足
- X(z)绝对可和，\(\sum|x(n)z^{-n}|<\infty\)
- 所有满足上式的\(|z|\)，组成了z变换的ROC
- \(X(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}\)，0点极点
必须指明收敛域
有限长度的信号ROC是整个z平面，但是z=0和z=∞需要另外考虑
3.3 典型序列的z变换
牢记：\(\sum\limits_{i=1}^na_i=a_1\frac{1-q^n}{1-q}\)
单位抽样序列
\[
\Delta(z)=\sum \delta(n)z^{-n}=1\,\,\,\,\,\,\, ROC:0\leq|z|\leq\infty
\]
单位阶跃序列
\[
U(z)=\sum u(n)z^{-n}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}z^{-n}=\frac{1}{1-z^{-1}}\,\,\,\,\,\,\, ROC:|z|>1
\]
实指数右边序列
\(x(n)=a^nu(n)\)
\[
X(z)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a^nz^{-n}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{a}{z}\right)^n=\frac{1}{1-a/z}\,\,\,\,\,\,\,\, ROC:|z|>a
\]
一般右边序列的ROC一定在最大极点的圆周外（考虑s平面上最大极点的右边）
实指数左边序列和双边序列同理，不赘述
3.4 Z反变换
将\(X(z)\)表示为分式，最终化为分式之和，逆变换
例：\(X(z)=\frac{1}{(1-1/4z)(1-1/2z)},ROC:|z|>1/2\)，求\(x(n)\)
解：\(X(z)=\frac{2}{1-1/2z}-\frac{1}{1-1/4z}\)，得到\(x(n)=2\left(\frac{1}{2}\right)^nu(n)-\left(\frac{1}{4}\right)^nu(n)\)
3.5 Z变换性质和定理
线性
\[
Z[a_1x_1(n)+a_2x_2(n)]=a_1X_1(z)+a_2X_2(z),ROC:ROC_1\cap ROC_2
\]
时移
\[
Z[x(n-n_0)]=z^{-n_0}X(z),ROC:ROC_x
\]
Z域尺度变换
\[
Z[a^nx(n)]=X\left(\frac{z}{a}\right),ROC:|a|ROC_x
\]
时间反转
\[
Z[x(-n)]=X(z^{-1}),ROC:\frac{1}{r_2}<|z|<\frac{1}{r_1}
\]
Z域微分
\[
Z[nx(n)]=-z\frac{dX(z)}{dz},ROC:ROC_x
\]
时域卷积
\[
Z[x_1(n)*x_2(n)]=X_1(z)\cdot X_2(z),ROC:ROC_1\cap ROC_2
\]
序列相关
定义相关操作：\(r_{x_1,x_2}(l)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}x_1(n)x_2(n-l)=x_1(l)*x_2(-l)\)
\[
Z[r_{x_1,x_2}(l)]=R_{x_1,x_2}(z)=X_1(z)\cdot X_2(z^{-1})
\]
初值定理
对因果序列\(x(n)\)，有
\[
\lim\limits_{z\rightarrow \infty}X(z)=x(0)
\]