11 其他说明

学习笔记
作者: MingXiao

11.1 关于DSP的说明

整门课可以说就是为了第9节，第10节服务的，所以学懂了9/10两章，这门课就没问题

11.2 关于滤波器截止频率的选定

首先需要明确的是，带通/阻滤波器并没有所谓的截止频率

这里我们特指不显含的\(\omega_c\)，而不是给定的通频带参数如\(f_p,f_{st}\)等

当不指定\(\omega_c/f_c\)，而只给出了通频带的截止频率时，认为不显含；如果直接给出了，就直接用显式的就行

下面只讨论低通，毕竟高通就是1-低通

FIR滤波器

  • 窗函数法中会使用到一个\(\omega_c\)，这是时域sinc函数经过DFT后在频域上的截止频率

    经过9.2节的说明可以发现，这个\(\omega_c=\frac{\omega_p+\omega_{st}}{2}\)，此时的\(|H(\omega)|\)也一定恒等于0.5，也就是-3dB

  • 频率抽样法并不会直接涉及\(\omega_c\)，但是理想滤波器的\(\omega_c\)显然是同上的含义，当然这种方法一般会给定

  • 一定有线性相位，或者说一定要求线性相位

IIR滤波器

  • 冲激响应不变法一般会给出模拟滤波器\(H_a(s)\)，故不存在这个问题

  • 双线性变换法给定的参数一般是\(A_p,A_{st}\)，前者对应于\(f_p\)，也就是使用\(\Omega_p\)作为-3dB的横坐标（实际是\(A_p\)dB）

    根据对FIR滤波器的讨论可以知道，这是将\(|H(\omega)|=0.5\)的\(\omega=\omega_p\)，也就是指定\(\omega_c=\omega_p\)

    那么在原型更改时，就需要使\(\Omega_c = \Omega_p\)

    值得一提，这种方法一般会涉及模-数-模转换，第一次是模拟指标正常转数字指标，第二次是双线性

  • 当然，如Lab 3所示，也会存在不需要\(A_p\)的设计方法，这种没法手搓，也就不存在截止频率的选取问题

  • 一般是没有线性相位的，因为滤波器的原型就不具有线性相位

  • 双线性法设计滤波器的基本流程

    给定模拟频率要求\(f_p,f_{st}\)分别为通带截止频率和阻带截止频率，抽样频率为\(f_s\)，通带截止衰减为\(A_p\)，阻带衰减为\(A_{st}\)

    1. 用模拟要求求的数字要求
      \[ \omega_p = 2\pi f_p/f_s,\,\, \omega_{st} = 2\pi f_{st}/f_s \]

    2. 用数字要求和双线性法求的滤波器的模拟要求
      \[ \Omega_p = 2f_s\tan\frac{\omega_p}{2},\,\,\Omega_{st} = 2f_s\tan\frac{\omega_{st}}{2} \]

    3. 求出原型滤波器的归一化阻带截止频率\(\nu_s\)
      \[ \nu_s = \frac{\Omega_{st}}{\Omega_p} \]

    4. 根据\(A_p\)和\(A_{st}\)求的原型的阶数n
      \[ |H_p(\nu)|=\frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2\nu^{2n}}} \]

      \[ \varepsilon^2=10^{-\frac{A_p}{10}}-1 \]

      \[ n \geq \left(\lg{\frac{10^{-0.1A_{st}}-1}{\varepsilon^2}}\right)/(2\lg \nu_s) \]

    5. 根据n求出原型滤波器，再用滤波器之间的相互转换求出需要的模拟域滤波器\(H(s)\)

    6. 反变换为数字域
      \[ H(z) = H(s)|_{s=2f_s\frac{z-1}{z+1}} \]

观察这二者的\(\Omega_c\)选取的差别，会对

IIR有准确的边缘频率

这句话有新的认识



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