7 控制系统的状态空间设计

学习笔记
作者: MingXiao

7.1 控制器的极点配置

相比于根轨迹法只能确定主导极点，极点配置可以把所有的闭环极点配置到想要的位置

几个假设

  • 系统完全可观测
  • 如果系统状态完全可控，那么通过状态反馈增益矩阵就行
  • 系统是单输入单输出
  • 参考输入为0

7.1.1 状态反馈法

此方法要求系统完全可控

选取控制信号为
\[ u = -K_{1\times n}X_{n\times 1} \]
即控制信号由瞬时状态决定，系统如下

这个闭环系统没有输入量，参考输出也为0，最终的目的就是输出量为0

如果调节参考输入为常数，则这样的系统是调节器系统

如果会时变，则是控制系统

将控制信号带入状态空间方程，得到
\[ \dot{X}(t) = (A-BK)X(t) \]
那么得到
\[ X(t) = e^{(A-BK)t}X(0) \]

  • 矩阵\(A-BK\)的特征值为调节器的极点
  • 如果这些极点都在\(s\)平面的左半边，则当\(t\rightarrow\infty\)时，系统状态\(x_i=0\)
  • 将调节器极点（也就是闭环极点）配置到所期望的位置，就是极点配置问题

7.1.2 任意配置极点

能够任意配置极点的充要条件是：系统状态完全可控

证明略，有两种方法配置\(K\)

变换矩阵T：一般用不到

  1. 检验系统的可控性，若不可控，那没得谈

  2. 根据\(|sI-A|=s^n+a_1s^{n-1}+\ldots+a_{n-1}s+a_n\)确定原始系统的闭环极点和\(a_i\)的值

  3. 求解变换矩阵\(T=M_{n\times n}W_{n\times n}\)，其中
    \[ M = [B, AB, \ldots,A^{n-1}B]_{n\times n}\\ W = \left[\begin{matrix} a_{n-1},a_{n-2},\ldots,a_1,1\\ a_{n-2},a_{n-3},\ldots,1,0\\ \ldots\\ a_1,\,\,\,1,\,\,\,\,\ldots\,\,\,\,\,\,,0\,\,\,\,\,,0\\ 1,\,\,\,\,0,\,\,\,\,\ldots\,\,\,,0\,\,\,\,0 \end{matrix}\right] \]

  4. 利用期望的极点配置\(\Pi(s-p_i)=s^n+b_1s^{n-1}+\ldots+b_{n-1}s+b_n\)得到\(b_i\)的值

  5. 确定增益矩阵
    \[ K = \left[ b_n-a_n,b_{n-1}-a_{n-1},\ldots,b_2-a_2,b_1-a_1\right]_{1\times n}T^{-1}_{n\times n} \]

值得一提，当原系统是可控标准型时，\(T=I_{n}\)

直接带入

对于低阶的系统有效

  1. 检验系统的可控性

  2. 假设增益矩阵是\(K=[k_1, k_2,k_3]_{1\times 3}\)

  3. 更改后的系统的闭环传递函数的特征方程应该是
    \[ |sI-A+BK|=0 \]
    其中\(BK_{n\times n}\)

  4. 利用
    \[ |sI-A+BK| =\Pi(s-p_i)=s^n+b_1s^{n-1}+\ldots+b_{n-1}s+b_n \]
    来直接确定\(k_i\)的值

\(k_i\)越大，代表响应速度越大，所需要的能量也越大；实际系统中需要折衷考虑

7.2 状态观测器

思路和卡尔曼滤波一样

实际情况中不是所有的状态变量都可以用来反馈，需要用状态观测器估计（观测）不可用的状态变量

如果一个观测器能观测所有的状态变量，则称其为全阶状态观测器，对应于降阶和最小阶

能够设计状态观测器的充要条件是：系统满足可观测条件

红框中的就是一个全阶状态观测器，基本思路如下

  1. 使用状态变量的观测/估计值\(\tilde{X}\)代替\(X\)进行计算，得到的状态空间为
    \[ \dot{\tilde{X}} = A\tilde{X}+Bu+K_e(y-\tilde{y})\\ \tilde{y} = C\tilde{X} \]
    其中\(K_{e\,\,{n\times 1}}\)是观测器的配置增益

  2. 结合系统的状态方程，得到
    \[ \dot{X}-\dot{\tilde{X}} = (A-K_eC)(X-\tilde{X}) \]

  3. 令\(E=X-\tilde{X}\)，那么
    \[ \dot{E} = (A-K_eC)E \]

  4. \(E\)的解就是上面极点配置的问题，如果系统完全可观测，那么\(A-K_eC\)将具有任意的特征值，也就是极点

    对这句话的解释：将\((A-K_eC)\)取转置，秩不变，得到\((A^T-C^TK_e^T)\)，根据可观和可控的对偶性，这就是对偶系统的可控，那么就是本系统的可观

  5. 由于\(E\)是观测量和实际值的误差，当然希望\(E=0_{n\times 1}\)，\(k_{ei}\)越大越好

    但是一般而言，实际系统存在噪声，故这是一个抗干扰和快速响应的trade-off

配置方法同7.1.2，不赘述；是根据观测器的期望闭环极点配置的

7.3 控制器-观测器系统

7.3.1 控制和观测的独立性

一个完全可控和完全可观的系统，使用基于观测的状态变量进行极点配置，即
\[ u=-K_{1\times n}\tilde{X} \]
那么
\[ \dot{X} = AX-BK\tilde{X} = (A-BK)X+BK(X-\tilde{X})=(A-BK)X+BKE\\ \dot{E} = (A-K_eC)E \]
那么状态空间为
\[ \left[\begin{matrix} \dot{X}\\ \dot{E} \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} A-BK,\,\, BK\\ 0,\,\,\,\,\,A-K_eC \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} X\\ E \end{matrix}\right] \]
那么特征方程为
\[ \left|\begin{matrix} sI-A+BK,\,\,\, -BK\\ 0\,\,\,,\,\,\, sI-A+K_eC \end{matrix}\right| = 0\Rightarrow|sI-A+BK|\cdot|sI-A+K_eC|=0 \]
根据行列式的性质，二者各自为0

也就是控制器和观测器是独立的，互不影响

7.3.2 控制器-观测器的传递函数

系统完全可测量，但是不能直接测量，即
\[ \dot{X} = AX+Bu\\ y=CX\\ u=- K\tilde{X} \]
观测器方程为
\[ \dot{\tilde{X}} = (A-K_eC)\tilde{X}+Bu+K_ey\\ \Rightarrow \tilde{X} = (sI-A+K_eC+BK)^{-1}K_eY \]
那么系统的闭环传递函数的倒数（自身不好表示，但是倒数好表示）就是
\[ \frac{U(s)}{Y{(s)}} = \frac{-K\tilde{X}}{Y(s)}=-K(sI-A+K_eC+BK)^{-1}K_e \]
很显然这个要是串联那么设计起来会非常麻烦，故实际中一般都是并联的系统

7.4 最小阶观测器

如果\(y\)仅仅是\(m\)个状态变量的线性组合，那么余下的\(n-m\)个变量需要估计，需要一个\(n-m\)阶的降阶观测器

这个\(n-m\)的观测器就是最小阶观测器



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