2 控制系统的数学模型

学习笔记
作者: MingXiao

建立方法：

  1. 解析法。依据数理规律建立准确模型
  2. 实验法。把系统当黑箱，也称系统辨识

2.1 数学模型的分类

线性/非线性，分布性/集总性（能否用有限原件描述），参数时变性

只考虑线性时不变集总模型，用线性常微分方程描述

方程的输出阶次大于输入阶次，否则会有不因果

2.2 传递函数和脉冲响应

在全部初始条件为0的假设下，传递函数\(H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}\)

称\(X(s)=0\)为系统的特征方程，\(X(s)\)的最高阶次为系统的阶次

s=0时，\(H(0)\)的值是系统的放大系数/增益，表示系统处于静态时输出与输入之比

这里有必要说明：\(X(s)=0\)指的就是传递函数的极点，这种表述在定义上不准确，但是在数学上是等价的

说明：

  1. H(s)仅取决于系统，与输入无关
  2. H(s)不提供系统的物理结构的信息
  3. 当H(s)已知时，系统的动态特性被充分的描述
  4. h(t)称为系统的权函数，是初始条件全部为零时得到的
  5. 当系统的时间常数较大时，很短的脉动信号可以视为脉冲信号

2.3 自动控制系统

2.3.1 方框图

各个元件的功能和信号回流的图解表示，表示各种元件之间的互相关系

闭环系统框图

定义：\(开环传递函数=\frac{反馈信号}{误差信号} , 前向传递函数=\frac{输出量}{误差信号}\)

有\(开环传递函数=\frac{B(s)}{E(s)}=\frac{E(s)G(s)H(s)}{E(s)}=G(s)H(s)，前向传递函数=\frac{C(s)}{E(s)}=\frac{E(s)G(s)}{E(s)}=G(s)\)

\(闭环传递函数=\frac{输出量}{出入量}=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}\)

2.3.2 扰动下的闭环系统

扰动也是输入量，由于是LTI系统，可以将R(s)与D(s)单独作用后叠加

扰动的闭环传递函数=\(\frac{G_2}{1+G_2\cdot G_1H}\)，可以将扰动视为以G2为增益，以HG1为反馈的系统

激励的闭环传递函数=\(\frac{G_1G_2}{1+G_1G_2\cdot H}\)

系统的闭环传递函数为二者相加，在\(|G_1G_2H|>>1\)时，扰动的干扰很小

2.3.3 自动控制器

2.4 工业控制器分类

2.4.1 双位/开关控制

\[ u(t)=\begin{cases} U_1,\,\, e(t)>0\\ U_2,\,\, e(t)<0\\ \end{cases} \]
其中e(t)为误差

2.4.2 比例控制

\[ u(t)=K_pe(t) \]

比例增益为\(\frac{U(s)}{E(s)}=K_p\)

2.4.3 积分控制

\[ u(t)=K_i\int_0^t e(a)da \]

积分增益为\(\frac{U(s)}{E(s)}=\frac{K_i}{s}\)

2.4.4 比例积分控制

\[ u(t)=K_pe(t)+\frac{K_p}{T_i}\int_0^te(a)da \]

其中\(T_i\)为积分时间常数，PI增益为\(\frac{U(s)}{E(s)}=K_p(1+\frac{1}{T_is})\)

2.4.5 比例微分控制

由于微分的非因果性，PD控制一定程度上可以预测误差

\[ u(t)=K_pe(t)+K_pT_d\frac{de(t)}{dt} \]

其中\(T_d\)为微分时间常数，PD增益为\(\frac{U(s)}{E(s)}=K_p(1+T_ds)\)

2.4.6 比例积分微分控制

比较难调

\[ u(t)=K_pe(t)+\frac{K_p}{T_i}\int_0^t e(a)da+K_pT_d\frac{de(t)}{dt} \]

PID增益为\(\frac{U(s)}{E(s)}=K_p(1+\frac{1}{T_is}+T_ds)\)

2.5 方框图的简化

原则

  1. 前向通路中传递函数的乘积不变
  2. 反馈回路中传递函数的乘积不变

2.5.1 代数法则简化

利用传递函数在频域的代数法则进行化简

例：化简并求总体传递函数C/R

有兴趣就画吧，这种方法比较麻烦，结果是\(\frac{G_1G_2G_3}{1-G_1G_2H_1+G_2G_3H_2+G_1G_2G_3}\)

2.5.2 代数法求传递函数

将中间变量用输入量表示，比较麻烦

例：化简并求总体传递函数

结果是\(X_2=\frac{G_1G_2}{1+G_1G_3+G_2G_4}X_1+\frac{G_2}{1+G_1G_3+G_2G_4}X_3\)

2.5.3 梅逊公式

当方框图有多个前向通路，且存在不接触的回路时，系统的总体传递函数C/R有
\[ \frac{C}{R}=\frac{1}{\Delta}\sum\limits_{k=1}^n {P_k\Delta_k} \]
其中\(\Delta =1-\sum L_{(1)}+\sum L_{(2)}+\ldots+(-1)^m\sum L_{(m)}\)

\(\sum L_{(1)}\)是所有不同回路的传递函数之和（正负反馈的符号要注意）

\(\sum L_{(2)}\)是两两不接触的回路传递函数乘积之和，依次类推

\(P_k\)是第k条前向通路

\(\Delta_k\)是第k条前向通路的余因子，由\(\Delta\)将所有与这条通路接触的回路置零得到

对余因子的理解：重点在“余”，也就是必须包含前向通路没有的信息，舍弃所有已知信息，那么无论\(L_{(i)}\)，只要其中一个回路接触了这个通路，就令\(L_{(i)}=0\)

例子可以拿前面两个练手，下面也给一个

P1=G1G2G3, P2=G4G3

L1=-G1G2G5, L2=-G1G2G3G6G5, L3=-G7

为什么G3G5不是？因为箭头不构成回路; 为什么G4G3G6G5不是？因为G5不能回到G4

L(1)=L1+L2+L3, L(2)=0，都是有接触的

Δ=1-L(1), Δ1=1+G7, Δ2=1+G1G2G5+G7

C/R=(P1Δ1+P2Δ2)/Δ

另一个例子：

2.6 状态空间模型

多输入多输出模型，无论线性和时变性，任何系统都行，能在时域和频域建模

2.6.1 基本概念

状态：一组最小变量，能确定系统

状态变量：确定动态系统的状态

状态向量：将状态变量写成向量形式

状态空间：状态向量组成的空间

对于连续时间控制系统，积分器是记忆元件，其数目等于状态变量数目

2.6.2 状态空间方程

设系统的状态变量是\(x_i\)，输入量是\(u_i\)，输出量是\(y_i\)

有\(x(t)=[x_1(t),x_2(t),\ldots,x_n(t)]^\top\)，y(t),u(t)同理，组成向量，得到方程
\[ \dot{x}(t)=f(x,u,t);y(t)=g(x,u,t) \]
这是矩阵运算，对方程线性化为状态方程和输出方程
\[ \dot{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)\,\,\,\,\,\,\,y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t) \]

例：已知系统方程为\(m\ddot{y}+B\dot{y}+Ky=u\)，求状态方程

解：有二阶导，显然需要2次积分，故状态变量为2个，令\(x_1=y,x_2=\dot{y}\)，因为还要求导，所以这么设

​ 则有\(\dot{x_1}=\dot{y}=x_2,\dot{x_2}=\ddot{y}=-\frac{K}{m}x_1-\frac{B}{m}x_2+\frac{1}{m}u,y=x_1\)

​ 得到\(A=\left(\begin{matrix} 0 & 1\\ -\frac{K}{m} & -\frac{B}{m} \end{matrix}\right),B=\left(\begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{matrix}\right),C=\left(\begin{matrix} 1 & 0\end{matrix}\right),D=0\)

2.6.3 传递函数和状态空间方程的关系

对状态空间方程进行拉氏变换，带入0状态，得到
\[ sX(s)=AX(s)+BU(s)\,\,\,\,\,\,\, Y(s)=CX(s)+DU(s) \]
将X(s)用U(s)带入，得到
\[ Y(s)=\left(C(sI-A)^{-1}B+D\right)U(s) \]
即传递矩阵为\(C(sI-A)^{-1}B+D\)

例：求状态空间表达式

首先得到\(Y=X_1=\frac{10}{s+5}X_2,X_3=\frac{1}{s+1}X_1,X_2=(U-X_3)/s\)

由于复频域状态空间方程形式为\(sX(s)=AX(s)+BU(s)\)，将上面等式化为
\[ sX_1=-5X_1+10X_2, sX_2=U(s)-X_3, sX_3=X_1-X_3 \]
易得矩阵



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