An Investigation of Methods for Determining Depth from Focus

IEEE TRANSACTIONS ON PATTERN ANALYSIS AND MACHINE INTELLIGENCE

主要研究了 Defocus Operator Model，通过估计退化函数求出成像模糊的半径，然后反推出深度

透镜成像模型

其中\(D_o\)是物体距离透镜的距离，\(D_i\)是成像平面距离透镜的距离，\(R\)是像模糊的光斑大小，\(D_{fi}\)是像会聚的位置（最清晰的点）

设透镜的焦距为\(F\)，直径为\(L\)，那么
\[ \frac{L}{2R} = \frac{D_{fi}}{\delta} \]
代入透镜成像公式\(\frac{1}{v}+\frac{1}{u}=\frac{1}{F}\)，得到
\[ R = \frac{L}{2}(1-\frac{D_i}{F} + \frac{D_i}{D_o}) \]

\[ D_o = \frac{LFD_i}{2RF+D_i-F} \]

退化函数模型

关于\(R\)，存在系统的归一化离焦算子
\[ h(x,y) = \frac{1}{\pi R^2},\,\,\,x^2+y^2\leq R^2 \]
假设完全清晰的图像为\(s(x,y)\)，经过模糊的图像为\(i(x,y)\)，选取两个模糊的图像，有
\[ i_1(x,y) = s(x,y) * h_1(x,y) +\eta_1\\ i_2(x,y) = s(x,y) * h_2(x,y)+\eta_2 \]
其中\(\eta\)是噪声

对其进行傅里叶变换并写为极坐标的形式，有
\[ H(\rho) = 2\pi \int_0^\infty rh(r)J_0(2\pi r\rho)dr = 2\frac{J_1(2\pi R\rho)}{2\pi R\rho} \]
利用了\(\frac{d}{dz}zJ_1(z)=zJ_0(z)\)

得到
\[ I_1 = S \cdot H_1\\ I_2 = S \cdot H_2 \]
设
\[ i_1(x,y) * h_3 (x,y) = i_2(x,y) \]
那么得到（忽略一切噪声的理想情况下）
\[ H_3 = \frac{R_1J_1(2\pi R_2\rho)}{R_2J_1(2\pi R_1\rho)} = I_1^{-1}I_2 \]
寻找\(H_3\)的交叉零点，对于\(J_1\)，有
\[ 2\pi R_2\rho_0 = 3.83 \]
如何确定\(\rho\)？用二次函数拟合\(H_3\)，得到
\[ H_3 = a\rho^2+b =0 \Rightarrow \rho_0 = \sqrt{-\frac{b}{a}} \]
得到\(R_2 = \frac{3.83}{2\pi \rho_0}\)

对于数字图像，设像素密度为\(P\)（个/mm），数字半径和模拟半径的关系为\(R = R_P /P\)，数字频率和模拟频率的关系为\(\rho_P = \rho / P\)

转换为DFT就是\(\rho_P = \frac{1}{N} k\)，其中\(N\)为图像像素个数，\(k\in [0,1,\ldots,N-1]\)

那么
\[ R_2 = \frac{3.83N}{2\pi k P}\\ k = \sqrt{-\frac{b}{a}} \]
由此解出深度\(D_o\)